Уравнения являются одной из основных тем в математике, и их решение может представлять интерес для многих людей. В данной статье мы рассмотрим одно из таких уравнений — x^4 — 9x^2 + 4 = 0.
Перед тем, как перейти к решению, давайте разберемся, что такое корень уравнения. Корень уравнения — это значение переменной, которые позволяют уравнение стать верным. Другими словами, корни уравнения являются значениями переменной, которые удовлетворяют уравнению.
Для решения данного уравнения нам потребуется использовать теорию квадратного уравнения и методы факторизации. После применения этих методов, мы сможем найти все возможные корни уравнения и определить их количество. Таким образом, давайте начнем пошагово разбираться в решении и определить, сколько корней имеет уравнение x^4 — 9x^2 + 4 = 0.
Решение уравнения x^4 — 9x^2 + 4 = 0
Для решения данного уравнения можно воспользоваться заменой переменных. Обозначим x^2 = y, тогда уравнение примет вид:
y^2 — 9y + 4 = 0.
Решим полученное квадратное уравнение:
| Коэффициент | Коэффициент при y | Свободный член |
|---|---|---|
| 1 | -9 | 4 |
Используя квадратное уравнение, найдем два значения y:
y = (-b ± √(b^2 — 4ac)) / 2a
y1 = (9 + √(9^2 — 4 * 1 * 4)) / 2 * 1 = (9 + √(81 — 16)) / 2 = (9 + √65) / 2
y2 = (9 — √(9^2 — 4 * 1 * 4)) / 2 * 1 = (9 — √(81 — 16)) / 2 = (9 — √65) / 2
Подставив полученные значения y в исходное уравнение, получим следующие значения x:
x1 = √(y1) = √((9 + √65) / 2)
x2 = -√(y1) = -√((9 + √65) / 2)
x3 = √(y2) = √((9 — √65) / 2)
x4 = -√(y2) = -√((9 — √65) / 2)
Таким образом, у уравнения x^4 — 9x^2 + 4 = 0 есть 4 корня: x1 = √((9 + √65) / 2), x2 = -√((9 + √65) / 2), x3 = √((9 — √65) / 2), x4 = -√((9 — √65) / 2).
Уравнение и его свойства
Изначально уравнение может показаться сложным из-за высокой степени. Однако, если проанализировать его подробнее, можно заметить, что оно имеет квадратный вид: (x^2)^2 — 9x^2 + 4 = 0.
Подставим y = x^2 и получим следующее уравнение: y^2 — 9y + 4 = 0. Теперь это уравнение уже квадратное по переменной y.
Решим это уравнение с помощью формулы дискриминанта. Для этого найдем дискриминант D = b^2 — 4ac, где a = 1, b = -9, c = 4. Подставим значения в формулу и получим D = 81 — 16 = 65.
В нашем случае D = 65 > 0, следовательно, у уравнения x^4 — 9x^2 + 4 = 0 два различных действительных корня.
Для нахождения этих корней можно воспользоваться формулой y = (-b ± √D) / (2a). Подставим значения и найдем корни:
| Корень | x |
|---|---|
| Корень 1 | √((9 + √65) / 2) |
| Корень 2 | -√((9 + √65) / 2) |
Таким образом, у уравнения x^4 — 9x^2 + 4 = 0 два действительных корня: √((9 + √65) / 2) и -√((9 + √65) / 2).
Преобразование уравнения
Далее решим полученное квадратное уравнение t^2 — 9t + 4 = 0. Для этого можно использовать дискриминант или метод полного квадрата. Решив квадратное уравнение, найдем значения переменной t.
Найденные значения t подставим обратно в уравнение t = x^2 и решим полученное уравнение относительно переменной x. В результате получим значения переменной x, являющиеся корнями исходного уравнения x^4 — 9x^2 + 4 = 0.
Теорема Виета
В общем виде, для многочлена степени n с коэффициентами a0, a1, …, an и корнями x1, x2, …, xn теорема Виета утверждает:
- Сумма корней многочлена равна отношению коэффициента при старшем члене (-an-1) к коэффициенту при свободном члене a0.
- Произведение корней многочлена равно (-1)n умноженному на отношение коэффициента при свободном члене a0 к коэффициенту при старшем члене (-an).
- Для многочлена третьей степени это может быть выражено следующим образом:
- Сумма корней равна -a2/a3.
- Произведение корней равно a0/a3.
Теорема Виета имеет широкое применение в алгебре и решении уравнений, позволяя найти корни многочлена или выразить коэффициенты многочлена через его корни.
Количество корней уравнения
Для определения количества корней используем дискриминант. В данном случае уравнение не является квадратным, поэтому к дискриминанту необходимо применить подстановку.
Для этого обозначим y = x^2.
Тогда уравнение преобразуется к виду y^2 — 9y + 4 = 0.
Вычисляем дискриминант этого квадратного уравнения: D = (-9)^2 — 4 * 4 = 81 — 16 = 65.
Так как дискриминант D > 0, то квадратное уравнение имеет два различных корня. Следовательно, исходное уравнение x^4 — 9x^2 + 4 = 0 имеет два действительных корня.